Tassellazioni periodiche / disegni periodici

Ma, come abbiamo visto, ci possono essere anche simmetrie di altro tipo nascoste nel disegno.

Le traslazioni sono casi particolari di isometrie, ovvero trasformazioni che lasciano invariate le distanze: movimenti rigidi. Abbiamo:

• rotazioni (di un certo angolo attorno ad un certo punto)
• riflessioni (rispetto ad una certa retta)
• traslazioni (già menzionate)
• glissosimmetrie: combinazione di una riflessione ed una traslazione

Un esempio, anzi: tre

1. Una disposizione a spina di pesce (il pavimento nella zona bassa della fotografia) [pgg,22x]
2. Una disposizione che ricorda un muro di mattoni (il pavimento nella zona sotto all'estintore) [cmm,2*22]
3. Una disposizione a quadretti (il soffitto) [p4m,*442]

Esercizio: riconosciamo le (due) simmetrie di traslazione

Ci sono però anche altre simmetrie, più o meno nascoste:

• simmetrie di riflessione sono chiaramente presenti nel caso 2 e 3
• rotazioni di 90 gradi si possono fare nel soffitto (caso 3)
• rotazioni di 180 gradi si possono fare nel caso 2
• Nel caso 1 è presente una glissosimmetria

Identificare, riconoscere, classificare!

L'autore de Il disordine perfetto (Marcus du Sautoy) visita l'Alhambra con la famiglia e si imbatte in due diversi motivi periodici: "La figura [3.3] mostra le mattonelle sulla prima parete che accoglie i visitatori all'ingresso dell'edificio"
"[...] Sul soffitto compare un altro motivo molto amato dagli artisti dell'Alhambra[...]"
L'autore si domanda ora se i due disegni condividono le stesse simmetrie... la risposta passa da sì a no ripetutamente man mano che si ragiona sulle figure.

La risposta finale è sì, la corrispondenza da fare tra i due disegni è illustrata in figura, sicuramente piuttosto sorprendente. [p4,442]

Le domande che sorgono spontanee a questo punto sono:

• come fare a riconoscere se due disegni hanno le stesse simmetrie?
• quante diverse strutture possono esserci?

La Teoria dei Gruppi

• Se compongo due isometrie, ovvero se eseguo prima una isometria e poi l'altra, ottengo ancora una isometria
• L'operazione contraria di una isometria (cioè il movimento fatto alla rovescia) è a sua volta una isometria
• Vale la proprietà associativa: se A, B, C sono tre isometrie si ha
  
  
  (AB)C = A(BC)
  
  (spiegare!)
• C'è una particolarissima isometria, che lascia tutto fermo, che chiameremo identità

Quelle particolari isometrie che risultano essere simmetrie del disegno formano a loro volta un gruppo, sottogruppo del gruppo di tutte le isometrie. Si tratta di un gruppo infinito, poiché (ad esempio) ci sono infinite traslazioni generate da due di esse. In ogni caso il linguaggio matematico della teoria dei gruppi è perfettamente adatto per il nostro scopo di classificazione.

Risultato:

Corrispondenza tra class. di Conway e quella cristallografica

Conway	o	xx	*x	**	632	*632
Cristal.	p1	pg	cm	pm	p6	p6m
Conway	333	*333	3*3	442	*442	4*2
Cristal.	p3	p3m1	p31m	p4	p4m	p4g
Conway	2222	22x	22*	*2222	2*22
Cristal.	p2	pgg	pmg	pmm	cmm

Come riconoscere il gruppo giusto

Si può utilizzare la seguente tabella (presa da wikipedia inglese con chiave di ricerca wallpaper group):