[Nota per il rendimento grafico: molte delle formule del testo originale sono state rese tramite immagini "gif", il rendimento può variare a seconda del browser utilizzato e della dimensione del font. Il risultato è stato controllato con Netscape 3.0, font Times, size 18. Inoltre alcuni simboli sono resi in modo un po' diverso, ad esempio il simbolo $\Lambda$ è in realtà un $\wedge$ in grassetto e un po' più grande. Infine, le formule più semplici sono state ottenute con semplice testo HTML, ma con l'utilizzo degli elementi <sup> e <sub> non implementati nelle vecchie versioni dei browser; come controllo la formula x⁴ dovrebbe rappresentare "x elevato alla quarta". (MP)]

1. MONOTONIA DELLA SERIE E DEFINIZIONE DELLO ZERO

Osservazione 1. Con l'aggiunta di a (=1), a destra dello 0 e successori, è indefinitamente possibile continuare nella progressione della serie monotona.
Sulla base di

0, a, b, c, n, +, .., ..., ( , ),

da cui

(0+), (0+a+), ((a+a+)=b+), ((b+a+)=c+), ..,
(n+), (n+a+), ...,

la serie diviene, però, ripetitiva. Il numero si banalizza. Esso aumenta per semplice ripetizione di (a+), e non c'è spiegamento della serie che sia indipendente dalla comparsa del segno '+' a destra della cifra:

(a+), (b+), .., (n+), ...

Dalla progressione seriale risulta l'automaticità dell'aggiunta.
Il logicismo (Peano, Russell, Whitehead) spiega la derivabilità della serie solo per iterazione. I formalisti (Hilbert, Bernays, Weyl, Kleene), senza più escludere lo zero dalla serie dei numeri naturali (che scrivono N, omettendo di distinguere fra N₀ e N₁), si limitano a raffinare il procedimento derivativo. Dopo 0, essi scrivono ancora 0, con l'aggiunta dell'apice ', ossia 0', per indicare l'inerenza (o appartenenza) a zero dell'aumento attribuiti allo 0. Proprio allo 0, primo numero naturale, quindi non più estromesso dalla serie dei numeri naturali (nè inclusi in N₀ come numero iniziale della serie dei numeri zero-inclusivi), appartiene, allora, l'incrementabilità di se stesso.

Ora quel cambiamento di prospettiva concorre alla rifondazione di una teoria generale dei numeri, e, specificatamente, dei numeri relativi.

pag. 17

[traduzione a fronte della pag. 16 in inglese]

pag. 18

Lemma 1. Prima di diventare

((0)'), (((0)')'), (((((0)')'..)'^..)),

dove l'apice ('^..) indica un suo aumento intrafinito, 0, uguale a se stesso (0=0), richiama $\phi$ , che è lo stesso 0 in quanto estensibile nella direzione del positivo ( $\phi$ =0, come base dell'estensibilità in positivo di 0).

Teorema 1. Diremo (0=0) e (0= $\phi$ ), se ( $\phi$ = $\phi$ ) e ( $\phi$ =0).
Con 0, $\phi$ , ₀, , $\Lambda$ , $\wedge$ , =, $\supset$ , ( , )
FORMULA (0=0), ((0=0) $\wedge$ (0= $\phi$ )) $\supset$ (( $\phi$ = $\phi$ ) $\wedge$ ( $\phi$ =0)) $\supset$
$\supset$ ( $\phi$ = $\phi$ ) $\wedge$ ( $\phi$ =0),
(per ogni 0 e $\phi$ , quando (0=0) e (0= $\phi$ ), se (0=0) e (0= $\phi$ ) implicano ( $\phi$ = $\phi$ ) e ( $\phi$ =0), allora ( $\phi$ = $\phi$ ) e ( $\phi$ =0)).

Definizione 1. Si dirà che 0, con (0=0), esprime il numero k come FORMULA , ossia come il numero idem-inclusivo di 0, per cui 0' va solamente verso il valore assoluto del successore di 0, senza che quest'ultimo sia estensibile positivamente o negativamente per mezzo di '^.., mentre (0= $\phi$ ) corrisponde al numero derivato $\phi$ -inclusivo FORMULA , ossia al numero naturale 0 uguale a $\phi$ , e va verso la propria estensibilità in positivo.

Teorema 2. FORMULA indica il numero naturale derivato 0, però con (0= $\phi$ ) e quindi con il passaggio all'incrementabilità di 0.
Infatti, con
k, 0, , ₀, , ', $\supset$ , (, ),
si può scrivere

pag. 20

e per il postulato 17 della teoria del numero (Kleene 1952, 82),
FORMULA ,
derivazione di (a $\wedge$ a) $\supset$ (a' $\wedge$ a'), dalla

(a $\wedge$ b) $\supset$ (a' $\wedge$ b'),

che si legge: (a $\wedge$ b) implica (a' $\wedge$ b'), quando a e b siano aumentati per l'aggiunta di apici (').

[...]