From russo Wed Jan 8 14:11:49 1997
To: ngbellia@flahnet.it
Gent. Sig Bellia,
io sono un matematico professionista (lavoro al CNR).
Io vorrei capire se lei ha trovato
- la formula risolutiva
oppure
- un algoritmo di approssimazione
per le radici delle equazioni polinomiali. Perche' vede:
- e' stato dimostrato (da Abel) che non esiste alcuna
"formula risolutiva" (generale, cioe' che funzioni
sempre) per le equazioni di grado superiore al quarto.
Qui per "formula risolutiva" si intende una espressione
che dipende dai coefficienti e che coinvolge soltanto
estrazione di radici.
Naturalmente, esistono formule risolutive che utilizzano
altri strumenti (funzioni trascendenti).
- esistono moltissimi algoritmi che permettono di
approssimare le radici di un polinomio con la precisione
desiderata.
Grazie per l'attenzione
Alessandro Russo
Istituto di Analisi Numerica del CNR
via Abbitegrasso 209
27100 Pavia
e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
From ngbellia@flashnet.it Wed Jan 8 19:06 MET 1997
To: Alessandro Russo
Alessandro Russo wrote:
>
> Gent. Sig Bellia,
>
> io sono un matematico professionista (lavoro al CNR).
>
> Io vorrei capire se lei ha trovato
>
> - la formula risolutiva
>
> oppure
>
> - un algoritmo di approssimazione
>
> per le radici delle equazioni polinomiali.
COME E' DETTO NELLA MIA HOME PAGE IL MIO E' UN ALGORITMO
PER IL CALCOLO DELLE RADICI REALI DELLE EQUAZIONI DI GRADO
"N" > 1.
LE RADICI SONO SOMMATORIE DI TERMINI TENDENTI RAPIDAMENTE
A ZERO.
TALE ALGORITMO E' FACILMENTE PROGRAMMABILE (< 1 PAGINA)
E FORNISCE RISULTATI CON 12 CIFRE DECIMALI ESATTE IN
DIPENDENZA DELLE CAPACTA' DEI NORMALI PC.
L'ITER LOGICO DELL'ALGORITMO E' ANALOGO A QUELLO DI NEWTON-
FOURIER CON LA DIFFERENZA CHE IL MIO FORNISCE CONTEMPORANEA-
MENTE LE RADICI REALI E LE EQUAZIONI RIDOTTE DI GRADO.
Perche' vede:
>
> - e' stato dimostrato (da Abel) che non esiste alcuna
> "formula risolutiva" (generale, cioe' che funzioni
> sempre) per le equazioni di grado superiore al quarto.
> Qui per "formula risolutiva" si intende una espressione
> che dipende dai coefficienti e che coinvolge soltanto
> estrazione di radici.
> Naturalmente, esistono formule risolutive che utilizzano
> altri strumenti (funzioni trascendenti).
>
> - esistono moltissimi algoritmi che permettono di
> approssimare le radici di un polinomio con la precisione
> desiderata.
LE SAREI GRATO SE VOLESSE INDICARMELI PER VERIFICARE IL LORO
RAPPORTO DI CONVENIENZA CON IL MIO.
DALLA GENERALITA' DI COLORO CHE PRELEVANO I MIEI FILES MI E'
STATA MANIFESTATA GRATITUDINE E APPREZZAMENTO ANCHE PERCHE'
NON TUTTI POSSONO PERMETTERSI IL LUSSO, PER USI SPORADICI,
DI ACQUISTARE UN PROGRAMMA COME "MATEMATICA" CHE RICHIEDE
UN NOTEVOLE STUDIO PRELIMINARE E NON E' INSERIBILE IN ALTRI
PROGRAMMI ELETTRONICI.
HO AVUTO L'OBIETTIVO DI AIUTARE GLI AMANTI NON PROFESSIONALI
DELLA RICERCA E CREDO DI ESSERCI RIUSCITO.
SE AVESSI CERCATO SUCCESSO SCIENTIFICO NON AVREI TENUTO NEL
CASSETTO DAL 1973 LE FORMULE DI CALCOLO DEI PILASTRI (ECONO-
MICI) PRESSOFLESSI IN CEMENTO ARMATO PRECEDENTEMENTE, IGNOTE
ALLA SCIENZA DELLE COSTRUZIONI.
SPERO DI AVERLE ILLUSTRATA LA MIA POSIZIONE.
DOPO LE PRIME ENFATIZZAZIONI DELLA STAMPA HO DATO SPAGO A TALE
ASPETTO, A ME NATURALMENTE ESTRANEO, IN QUANTO MI RIPRO-
METTO DI UTILIZZARE TALE PUBBLICITA' PER PORTARE AVANTI IL
MIO PROGETTO CULTURALE SULLA FISCALITA' CHE CONSIDERO L'UNICA
VIA D'USCITA DALL'ATTUALE DISASTROSA SITUAZIONE SOCIALE.
GRATO PER LE SUE OSSERVAZIONI COLGO L'OCCASIONE PER INVIARLE
I MIEI PIU' CORDIALI SALUTI.
Nicolò Giuseppe Bellia
>
> Grazie per l'attenzione
>
> Alessandro Russo
>
> Istituto di Analisi Numerica del CNR
> via Abbitegrasso 209
> 27100 Pavia
>
> e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
From russo Thu Jan 9 10:25:57 1997
To: ngbellia@flashnet.it
X-Sun-Charset: US-ASCII
Content-Length: 1887
X-Lines: 56
Status: RO
Gent. Sig. Bellia,
la ringrazio molto per la sua risposta. Io devo dire ero rimasto
un po' sconcertato (anzi, direi quasi seccato) dall'articolo
che mi e' capitato di leggere su Famiglia Cristiana: tale articolo
contiene moltissime assurdita' ed e' veramente indegno che tali
cose passino sotto silenzio.
Per quanto riguarda la sua richiesta di chiarimenti, la risposta
e' un po' complessa, perche' ci sono diverse strategie a seconda
se si vogliano trovare TUTTE le radici oppure solo alcune.
Il miglior modo di trovare tutte le radici e' quello di passare
attraverso la cosiddetta "companion matrix" che e' una matrice
che ha come autovalori esattamente le radici del polinomio
e poi usare un algoritmo per il calcolo degli autovalori.
Si fa cosi' perche' si conoscono degli algoritmi per il calcolo degli
autovalori molto ben funzionanti, anche per coefficienti complessi.
Questo e' il modo con cui per esempio il software Matlab procede.
Per dare un'idea delle prestazioni, Matlab calcola con questo algoritmo
le 10 radici del polinomio
x^10 + 2 x^9 + 3 x^8 + ... + 9 x^2 + 10 x + 11
con una precisione di 10^(-17) in circa 21000 operazioni.
risposta:
6.645314655747576e-01 + 5.054924144869491e-01i
6.645314655747576e-01 - 5.054924144869491e-01i
2.813517674443493e-01 + 7.458436456045133e-01i
2.813517674443493e-01 - 7.458436456045133e-01i
-1.490094502331785e-01 + 7.627263713920128e-01i
-1.490094502331785e-01 - 7.627263713920128e-01i
-5.191180481474577e-01 + 5.633089733572381e-01i
-5.191180481474577e-01 - 5.633089733572381e-01i
-7.323011891839253e-01 + 2.068770587722769e-01i
-7.323011891839253e-01 - 2.068770587722769e-01i
Grazie per l'attenzione
Alessandro Russo
Istituto di Analisi Numerica del CNR
via Abbiategrasso 209
27100 Pavia
tel. 0382-529 600
fax 0382-529 566
e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
From ngbellia@flashnet.it Thu Jan 9 11:18 MET 1997
To: Alessandro Russo
Alessandro Russo wrote:
>
> Gent. Sig. Bellia,
>
> la ringrazio molto per la sua risposta. Io devo dire ero rimasto
> un po' sconcertato (anzi, direi quasi seccato) dall'articolo
> che mi e' capitato di leggere su Famiglia Cristiana: tale articolo
> contiene moltissime assurdita' ed e' veramente indegno che tali
> cose passino sotto silenzio.
>
> Per quanto riguarda la sua richiesta di chiarimenti, la risposta
> e' un po' complessa, perche' ci sono diverse strategie a seconda
> se si vogliano trovare TUTTE le radici oppure solo alcune.
>
> Il miglior modo di trovare tutte le radici e' quello di passare
> attraverso la cosiddetta "companion matrix" che e' una matrice
> che ha come autovalori esattamente le radici del polinomio
> e poi usare un algoritmo per il calcolo degli autovalori.
> Si fa cosi' perche' si conoscono degli algoritmi per il calcolo degli
> autovalori molto ben funzionanti, anche per coefficienti complessi.
>
> Questo e' il modo con cui per esempio il software Matlab procede.
>
> Per dare un'idea delle prestazioni, Matlab calcola con questo algoritmo
> le 10 radici del polinomio
>
> x^10 + 2 x^9 + 3 x^8 + ... + 9 x^2 + 10 x + 11
>
> con una precisione di 10^(-17) in circa 21000 operazioni.
>
> risposta:
>
> 6.645314655747576e-01 + 5.054924144869491e-01i
> 6.645314655747576e-01 - 5.054924144869491e-01i
> 2.813517674443493e-01 + 7.458436456045133e-01i
> 2.813517674443493e-01 - 7.458436456045133e-01i
> -1.490094502331785e-01 + 7.627263713920128e-01i
> -1.490094502331785e-01 - 7.627263713920128e-01i
> -5.191180481474577e-01 + 5.633089733572381e-01i
> -5.191180481474577e-01 - 5.633089733572381e-01i
> -7.323011891839253e-01 + 2.068770587722769e-01i
> -7.323011891839253e-01 - 2.068770587722769e-01i
>
> Grazie per l'attenzione
>
> Alessandro Russo
>
> Istituto di Analisi Numerica del CNR
> via Abbiategrasso 209
> 27100 Pavia
>
> tel. 0382-529 600
> fax 0382-529 566
> e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
La ringrazio della risposta.
Avrò occasione di incontrare la dottoressa Parrinello in Sicilia
e ad essa porrò il problema nei termini corretti per una doverosa
rettifica, pur con tutto l'apprezzamento per l'entusiasmo generato
per la Matematica da noi amata.
La base dell'articolo della dottoressa Parrinello è lo schema
della mia biografia riportata nella Home Page e in essa non mi
contrappongo ad Abel, anche perch=E9 il mio algoritmo ha carattere
dinamico mentre il teorema di Abel riguarda la matematica formale.
Cordiali saluti.
Nicolò Giuseppe Bellia
From russo Thu Jan 9 14:02:06 1997
To: ngbellia@flashnet.it
>
> La ringrazio della risposta.
>
> Avrò occasione di incontrare la dottoressa Parrinello in Sicilia
> e ad essa porrò il problema nei termini corretti per una doverosa
> rettifica, pur con tutto l'apprezzamento per l'entusiasmo generato
> per la Matematica da noi amata.
>
> La base dell'articolo della dottoressa Parrinello è lo schema
> della mia biografia riportata nella Home Page e in essa non mi
> contrappongo ad Abel, anche perch=E9 il mio algoritmo ha carattere
> dinamico mentre il teorema di Abel riguarda la matematica formale.
>
Suggerirei di fare scrivere la doverosa rettifica a un matematico
di professione.
> Cordiali saluti.
> Nicolò Giuseppe Bellia
>
Potrebbe provare il suo programma sul caso test che le ho inviato
prima e anche su questo un po' pou' complicato?
x^20 + 2 x^19 + 3 x^18 + ... + 19 x^2 + 20 x + 21
Grazie
Alessandro Russo
Istituto di Analisi Numerica del CNR
via Abbiategrasso 209
27100 Pavia
tel. 0382-529 600
fax 0382-529 566
e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
From ngbellia@flashnet.it Thu Jan 9 17:29 MET 1997
To: Alessandro Russo
Alessandro Russo wrote:
>
> >
> > La ringrazio della risposta.
> >
> > Avrò occasione di incontrare la dottoressa Parrinello in Sicilia
> > e ad essa porrò il problema nei termini corretti per una doverosa
> > rettifica, pur con tutto l'apprezzamento per l'entusiasmo generato
> > per la Matematica da noi amata.
> >
> > La base dell'articolo della dottoressa Parrinello =3DE8 lo schema
> > della mia biografia riportata nella Home Page e in essa non mi
> > contrappongo ad Abel, anche perch=3DE9 il mio algoritmo ha carattere
> > dinamico mentre il teorema di Abel riguarda la matematica formale.
> >
>
> Suggerirei di fare scrivere la doverosa rettifica a un matematico
> di professione.
>
> > Cordiali saluti.
> > Nicolò Giuseppe Bellia
> >
>
> Potrebbe provare il suo programma sul caso test che le ho inviato
> prima e anche su questo un po' pou' complicato?
>
> x^20 + 2 x^19 + 3 x^18 + ... + 19 x^2 + 20 x + 21
>
>
> Grazie
>
> Alessandro Russo
>
> Istituto di Analisi Numerica del CNR
> via Abbiategrasso 209
> 27100 Pavia
>
> tel. 0382-529 600
> fax 0382-529 566
> e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
Sono d'accordo purch=E9 si chiarisca, con delicatezza, alla dottoressa
Parrinello che nella mia Home Page http://www.bellia.com/home.htm
si parla chiaramente di radici reali e si faccia riferimento ai miei
appunti biografici.
La dottoressa Parrinello non mi ha sottoposto all' esame l'articolo
prima di mandarlo in stampa.
E' anche importante indicare con precisione gli ambiti in cui le radici
complesse hanno importanza per la Scienza.
Io ho sempre sostenuto che il mio algoritmo è un importante passo
avanti rispetto a quello di Newton-Fourier.
Vorrei anche che si approfittase dell'occasione della rettifica per
fare un accenno alla proposta culturale della "fiscalit=E0 monetaria" che
io ritengo importante per le sorti dell'Italia e che mi vedr=E0 impegnato
per il resto della mia vita.
Bisogna sfruttare tutti gli spazi possibili per portare avanti battaglie
culturali capaci di far crescere la consapevolezza generale sui reali
problemi che condizionano la qualit=E0 della nostra vita.
Aggiungo 3 attachment.
Grazie ancora e cordiali saluti.
Nicolò Giuseppe Bellia
Attachment:
Attachment:
Attachment:
From russo Thu Jan 9 18:58:52 1997
To: ngbellia@flashnet.it
Ho fatto calcolare le radici del polinomio da Matlab
x^20 + 2*x^19 + 3*x^18 + ... + 19*x^2 + 20*x + 21
e risultano essere
-1.178590482912053e+00 + 1.739061010723837e-01i
-1.178590482912053e+00 - 1.739061010723837e-01i
-1.077054790599939e+00 + 5.064024418510807e-01i
-1.077054790599939e+00 - 5.064024418510807e-01i
-8.830557477793367e-01 + 7.943167444025495e-01i
-8.830557477793367e-01 - 7.943167444025495e-01i
-6.139411148876081e-01 + 1.012358662943387e+00i
-6.139411148876081e-01 - 1.012358662943387e+00i
-2.938148759104947e-01 + 1.141472327034733e+00i
-2.938148759104947e-01 - 1.141472327034733e+00i
4.855850332511802e-02 + 1.170543749657169e+00i
4.855850332511802e-02 - 1.170543749657169e+00i
3.822121202728584e-01 + 1.097405418602353e+00i
3.822121202728584e-01 - 1.097405418602353e+00i
6.764966102805811e-01 + 9.290417998798530e-01i
6.764966102805811e-01 - 9.290417998798530e-01i
9.031398682564202e-01 + 6.809212190785588e-01i
9.031398682564202e-01 - 6.809212190785588e-01i
1.036049909954450e+00 + 3.749865648114742e-01i
1.036049909954450e+00 - 3.749865648114742e-01i
Come vede non ci sono radici reali. Deve esserci qualche errore
nel suo programma.
p.s. cos'e' il metodo di Newton-Fourier?
From ngbellia@flashnet.it Fri Jan 10 00:30 MET 1997
To: Alessandro Russo
Alessandro Russo wrote:
>
> Ho fatto calcolare le radici del polinomio da Matlab
>
> x^20 + 2*x^19 + 3*x^18 + ... + 19*x^2 + 20*x + 21
>
> e risultano essere
>
> -1.178590482912053e+00 + 1.739061010723837e-01i
> -1.178590482912053e+00 - 1.739061010723837e-01i
> -1.077054790599939e+00 + 5.064024418510807e-01i
> -1.077054790599939e+00 - 5.064024418510807e-01i
> -8.830557477793367e-01 + 7.943167444025495e-01i
> -8.830557477793367e-01 - 7.943167444025495e-01i
> -6.139411148876081e-01 + 1.012358662943387e+00i
> -6.139411148876081e-01 - 1.012358662943387e+00i
> -2.938148759104947e-01 + 1.141472327034733e+00i
> -2.938148759104947e-01 - 1.141472327034733e+00i
> 4.855850332511802e-02 + 1.170543749657169e+00i
> 4.855850332511802e-02 - 1.170543749657169e+00i
> 3.822121202728584e-01 + 1.097405418602353e+00i
> 3.822121202728584e-01 - 1.097405418602353e+00i
> 6.764966102805811e-01 + 9.290417998798530e-01i
> 6.764966102805811e-01 - 9.290417998798530e-01i
> 9.031398682564202e-01 + 6.809212190785588e-01i
> 9.031398682564202e-01 - 6.809212190785588e-01i
> 1.036049909954450e+00 + 3.749865648114742e-01i
> 1.036049909954450e+00 - 3.749865648114742e-01i
>
> Come vede non ci sono radici reali. Deve esserci qualche errore
> nel suo programma.
>
> p.s. cos'e' il metodo di Newton-Fourier?
Evidentemente va affinato un elemento di controllo interno al
programma.
Provvederò presto.
Le invio la descrizione del metodo di Newton-Fourier.
Grazie della collaborazione e cordiali saluti.
Nicolò Giuseppe Bellia.
Attachment:
From russo Fri Jan 10 15:04:11 1997
To: ngbellia@flashnet.it
Gent Sig. Bellia,
1 Ho dato un'occhiata al suo algoritmo e mi sembra
equivalente al metodo noto come Newton-Raphson
avente zero come punto iniziale.
Ci sono differenze?
2 Potrebbe dirmi per favore da dove ha preso la descrizione del metodo
di Newton-Fourier?
3 Potrebbe provare il suo programma con l'equazione
x^3 - 2*x^2 + x - 1 = 0
Grazie
Alessandro Russo
Istituto di Analisi Numerica del CNR
via Abbiategrasso 209
27100 Pavia
tel. 0382-529 600
fax 0382-529 566
e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
From ngbellia@flashnet.it Sat Jan 11 10:57 MET 1997
To: Alessandro Russo
Alessandro Russo wrote:
>
> Gent Sig. Bellia,
>
> 1 Ho dato un'occhiata al suo algoritmo e mi sembra
> equivalente al metodo noto come Newton-Raphson
> avente zero come punto iniziale.
>
> Ci sono differenze?
>
> 2 Potrebbe dirmi per favore da dove ha preso la descrizione del metodo
> di Newton-Fourier?
STA NELL'ENCICLOPEDIA GEDEA ALLA VOCE "EQUAZIONE".
>
> 3 Potrebbe provare il suo programma con l'equazione
>
> x^3 - 2*x^2 + x - 1 =3D 0
>
> Grazie
>
> Alessandro Russo
>
> Istituto di Analisi Numerica del CNR
> via Abbiategrasso 209
> 27100 Pavia
>
> tel. 0382-529 600
> fax 0382-529 566
> e-mail: russo@dragon.ian.pv.cnr.it
GRAZIE DELLA SEGNALAZIONE; ERA STATO INVIATO UN FILE ERRATO.
LE MANDO QUELLO CORRETTO.
APPROFITTO DELL'OCCASIONE PER INVIARLE IL TESTO DI UNA E-MAIL
INVIATA A UN ALTRO MATEMATICO.
=09
* * *
>Lei passa infatti ad analizzare gli zeri di un polinomio di grado
> inferiore,
> trovato ipotizzando esatta la radice trovata in precedenza; in tal modo
> pero' l'imprecisione sulla prima radice influenza il calcolo delle
> radici successive, causando cosi' un accumulo di errori che penalizza l=
e
> radici trovate per ultime.
LA FRASE SOPRA RIPORTATA MI FA CAPIRE CHE ANCORA LEI NON E' ENTRATO
NELLA
LOGICA DEL MIO ALGORITMO.
PER ORA LIMITIAMOCI AD IMMAGINARE CHE LA FUNZIONE SIA TUTTA A DESTRA
DELL'ASSE DELLE DELLE Y COME RAPPRESENTATO NELLA FIGURA BELLIACC.DOC.
LA STESSA COSA E' VALIDA, QUALUNQUE SIA LA POSIZIONE DELLA FUNZIONE.
IL PRIMO PASSO DEL PROCEDIMENTO CONSISTE NEL DETERMINARE UN VALORE DI K
SICURAMENTE INTERNO ALL'INTERVALLO TRA ZERO E LA PRIMA RADICE REALE.
UNO DEI POSSIBILI VALORI E' CERTAMENTE IL RAPPORTO TRA IL TERMINE NOTO E
IL COEFFICIENTE DELLA X (VALORE DELLA DERIVATA DELLA FUNZIONE NEL PUNTO
ZERO).
FACENDO CON IL MIO TEOREMA LA TRASLAZIONE K AVVICINIAMO LA FUNZIONE
ALL'ORIGINE DEGLI ASSI ANNOTANDO IL VALORE DI K.
RIPETIAMO TALI OPERAZIONI FINO A CHE Kn DIVENTA NULLO PER LA CAPACITA'
DI VALUTAZIONE DEL COMPUTER.
LA SOMMA DELLE Kn E' SICURAMENTE LA PRIMA RADICE REALE ESATTA NEI LIMITI
DELLA CAPACITA' DEL CMPUTER.
MA DIRE CHE K E' DIVENTATO NULLO EQUIVALE A DIRE CHE IL TEMINE NOTO
DELL'ULTIMA TRASLATA E' DIVENTATO NULLO CIOè ESSA E' DIVENUTA UNA
FUNZIONE DI GRADO INFERIORE ALLA PRIMARIA.
ABBIAMO CIOE' OTTENUTO UNA FUNZIONE CHE MOLTIPLICATA PER (X-x1) GENERA
LA FUNZIONE PRIMARIA.
IN TALE PROCEDIMENTO NON POSSONO INSINUARSI ERRORI E DI CIO' MI E'
GARANZIA IL FATTO CHE IL TERMINE NOTO E' DIVENTATO NULLO.
SE LEI HA SEGUITO IMMAGINATIVAMENTE QUESTO PROCEDIMENTO LE SARA' ANCHE
FACILE CAPIRE CHE RIPETENDOLO PER TUTTE LE SUCCESSIVE RIDOTTE SI ARRIVA
AD OTTENERE TUTTE LE RADICI REALI CON L'ESATTEZZA CONSENTITA DALLA
CAPACITA' DEL COMPUTER E SENZA CHE IL GRADO DI PRECISIONE DI CIASCUNA
RADICE ABBIA LA MINIMA INFLUENZA SULLE ALTRE POSTO CHE I TERMINI NOTI
SONO DOVUTI DIVENTARE NULLI DI NECESSITA' PERCHE' IL CICLO SI ARRESTI.
AL CONTRARIO, CON L'ALGORITMO DI NEWTON-FOURIER, DOVENDO USARE LA REGOLA
DI RUFFINI PER OTTENERE LE RIDOTTE , GLI ERRORI SI TRASCINANO E QUINDI
E' NECESSARIO ADOTTARE PREVENTIVAMENTE CRITERI DI GRADI DI PRECISIONE.
COME SI PUÒ VEDERE LA LOGICA DI QUESTO PROCEDIMENTO E' TOTALMENTE
DIVERSA
DA QUELLA DELL'ALGORITMO DI NEWTON-FOURIER.
NEWTON SI AVVICINA ALLA RADICE, IO AVVICINO LA FUNZIONE ALL'ORIGINE
DEGLI
ASSI E, COME SI E' VISTO SOPRA NON TRATTASI DI "ACQUA CALDA".
ALTRI, IN MANIERA PIU' GROSSOLANA DELLA SUA, SONO CADUTI NELLE STESSE
DIFFICOLTA' DI COMPRENSIONE DEL MIO ALGORITMO, AFFERMANDO CHE SI TRATTA
DELLA RISCOPERTA DI NEWTO-FOURIER.
LA BELLEZZA DEL PROCEDIMENTO MI HA AFFASCINATO, OGGETTIVAMENTE, MOLTO DI
PIU' DI QUELLO DI NEWTON-FOURIER.
E' TUTTO QUI; IL RESTO LO AFFIDO ALLA SUA INTELLIGENZA.
HO VOLUTO FARE PARTECIPI ALTRI DI QUESTO MIO PIACERE SENZA ALTRE
FINALITA'
IMPURE, NE' PRESENTI, NE' FUTURE.
SPERO DI AVERLA AIUTATA A PARTECIPARE ALLA GIOIA CHE DERIVA DALLA
CONTEMPLAZIONE DI QUESTA VIA, POSTO CHE LE VIE DELLA MATEMATICA SIANO IN
GRADO DI GENERARE GODIMENTO ARTISTICO NELLA FORMA PIU' RAFFINATA.
IL PROGRAMMA POI, CHE STA IN UNA PAGINETTA, E' UN MIO TENTATIVO ROZZO
DI FAVORIRE I RICERCATORI CHE NON SI POSSONO PERMETTERE IL LUSSO DI
ACQUISTARE PROGRAMMI COME "MATEMATICA3" DI COSTO NON CERTO LEGGERO.
SPERO CHE ALTRI, PIU' ESPERTI DI ME, MI AIUTINO A REALIZZARE AL MEGLIO
QUESTO MIO INTENTO.
* * *
GRATO PER LA SUA CORTESE ATTENZIONE LE INVIO I MIEI PIU' CORDIALI
SALUTI.
Nicolò Giuseppe Bellia
From russo Mon Jan 13 14:29:13 1997
To: ngbellia@flashnet.it
Gent. Sig Bellia,
ho ricevuto la nuova versione del programma e ho studiato la sua
risposta. Purtroppo l'obiezione mossale e' vera: man mano che
l'equazione si riduce di grado, i coefficienti sono affetti da
un errore sempre piu' grande. La causa di questo errore e'
che il termine noto del suo polinomio e' come lei dice,
NULLO PER LA CAPACITA' DI VALUTAZIONE DEL COMPUTER.
Purtroppo questo non significa esattamente zero ma una quantita'
piccola. Ebbene, questa piccolo errore e' presente anche
negli altri coefficienti del polinomio, ed ogni volta che il
procedimento si ripete questo errore si amplifica, non permettendo
la soluzione di equazioni di grado elevato.
Io ho provato il suo algoritmo sul polinomio che ha come radici
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, e il metodo fornisce le prime 8 (con un errore
crescente) e poi si ferma, perche' ormai il polinomio che sta esaminando
e' affetto da un grosso errore e presumibilmente il suo
algoritmo non trova piu' radici reali.
Le scrivo i coefficienti cosi' potra' provare lei stesso:
1 * x^10
-55 * x^9
1320 * x^8
-18150 * x^7
157773 * x^6
-902055 * x^5
3416930 * x^4
-8409500 * x^3
12753576 * x^2
-10628640 * x^1
3628800 * x^0
Avrei poi un'altra domanda. Nella spiegazione del suo algoritmo lei
dice che all'inizio si pone
k = -A_n / A_(n-1)
Cosa succede se A_(n-1) = 0 ?
Grazie per l'attenzione
Alessandro Russo
Istituto di Analisi Numerica del CNR
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