Il gioco rientra nella classe dei giochi a due a informazione completa (ci mettiamo nel caso meno favorevole al giocatore, ovvero quello in cui il conduttore bara; in effetti noi siamo interessati ad una strategia per il giocatore che gli assicuri la vittoria al cento per cento).
A parte la prima mossa del giocatore, durante il resto del gioco la situazione prima della mossa del giocatore può essere descritta da una terna di interi (a,b,n), dove a e b sono il numero di casseforti rispettivamente alla sinistra e alla destra del segnaposto, mentre n è il numero di segnaposti ancora a disposizione del giocatore. Chiaramente a, b, n sono maggiori o uguali a zero e la somma a+b è almeno 1. Se n = 0 il giocatore vince (banalmente) se e solo se a+b = 1 (c'è una sola cassaforte ancora chiusa).
Per considerazioni di simmetria possiamo sempre supporre a maggiore o uguale a b.
L'inizio della partita (con c casseforti e n segnaposti) può essere interpretato in due modi: come una situazione iniziale del tipo (c,0,n) (ovvero possiamo pensare che ci sia gia un segnaposto in una posizione ininfluente), oppure come (a,b,n-1) in cui la decomposizione c=a+b viene scelta nel modo più favorevole per il giocatore, e infatti è il giocatore a decidere la decomposizione posizionando il primo segnaposto.
A questo punto classifichiamo le terne (a,b,n) a seconda che esista o meno una strategia vincente per il giocatore. Ovvero, definiamo l'insieme V delle terne (a,b,n) tali che esiste una mossa del giocatore per cui qualunque contromossa del conduttore riconduce ad una posizione vincente. Osserviamo che l'insieme V rimane definito induttivamente, essendo dapprima definito per n=0 (a=1, b=0, o viceversa) e poi per induzione per un generico n in base alla definizione; infatti dopo una mossa del giocatore e la contromossa del conduttore si arriva ad una posizione in cui n è diminuito esattamente di una unità
La seconda considerazione è che se (a,b,n) è una posizione vincente, allora lo è anche (c,d,n) se c e d sono rispettivamente minori o uguali ad a e b; infatti la strategia vincente del giocatore a partire da (a,b,n) può essere utilizzata (con le ovvie modifiche) anche nel caso chiaramente più favorevole (c,d,n).
Supponiamo infatti che i due segnaposti dividano le casseforti in a+b+c: a casseforti a sinistra del primo segnaposto, c casseforti a destra del secondo segnaposto, b casseforti tra i due segnaposti. Senza perdita di generalità possiamo supporre che a > c (in caso di uguaglianza è chiaro che la scelta del conduttore è del tutto ininfluente per motivi di simmetria).
Se il conduttore sceglie il segnaposto più a sinistra, la posizione risultante è (b,c,n) mentre se sceglie il segnaposto più a destra si arriva a (b,a,n) e non può essere la prima una posizione vincente senza che non lo sia anche la seconda, in base alla osservazione fatta nella Fase 1.
In definitiva nulla può peggiorare per il conduttore (quando gioca barando) se sceglie ogni volta il segnaposto più vicino ad un estremo, e possiamo quindi senza problemi supporre che questa sia proprio la strategia adottata dal conduttore.
Qui fn è il termine generico della successione di Fibonacci (1,1,2,3,5,8,...), definita da fn+1 = fn + fn-1 con f0 = f1 = 1. Conviene anche porre f-1 = 0, in modo che l'enunciato del teorema abbia senso anche per n=0, nel qual caso la sua validità è chiara.
Possiamo ora procedere per induzione, ovvero supporremo che il teorema sia valido per tutti gli (a,b,m) con m ≤ n e dimostreremo che in tal caso vale anche per m = n+1.
Sia dunque a ≤ fn+1 e b ≤ fn; la mossa del giocatore consiste nel disporre un segnaposto all'interno del gruppo di a casseforti lasciando a sinistra c casseforti in modo tale che, posto d = a - c si abbia: c ≤ fn e d ≤ fn-1 (è chiaro che questo si può fare). A questo punto qualunque sia la scelta del conduttore si arriva alla situazione (d,b,n) oppure (c,d,n), entrambe posizioni vincenti (grazie all'ipotesi induttiva).
Dobbiamo ora dimostrare che (posto per fissare le idee che a ≥ b) se a > fn+1 oppure b > fn con n+1 segnaposti a disposizione del giocatore, allora a vincere è il conduttore, qualunque sia la mossa del giocatore. Se ad esempio fosse a > fn+1 e il giocatore posizionasse il segnaposto nel gruppo di a casseforti (l'altro caso è di più semplice verifica), non saraà comunque possibile suddividere le a casseforti in due gruppi che verifichino l'ipotesi induttiva allorquando il conduttore apra le rimanenti b casseforti; se viceversa si avesse b > fn, e il giocatore posizionasse il segnaposto sempre all'interno del gruppo di acasseforti, allora al conduttore conviene scegliere l'ultimo segnaposto posizionato, arrivando ad una posizione perdente (per il giocatore) sempre per l'ipotesi induttiva.
Il teorema è così dimostrato.