Proposte di Tesi:

• Elaborazione di immagini in ambito medico (con possibilità di una borsa di studio).
• Stime di errore per il problema della curvatura prescritta approssimato con Allen-Cahn stazionario.
• Metodi numerici efficienti per la risoluzione del problema di curvatura prescritta.
• Analisi teorica dell'approssimazione del movimento per curvatura media.
• Metodi numerici per l'approssimazione del movimento per curvatura media.
• Segmentazione di immagini (possibili spunti di tipo teorico e numerico/informatico).

Elaborazione di immagini in ambito medico.

Stime di errore per il problema della curvatura prescritta approssimato con Allen-Cahn stazionario.

Si fa riferimento all'articolo [Pao94A] in cui si dimostra una stima di errore quasi ottimale per il problema della curvatura prescritta approssimato con una equazione ellittica del tipo $-\epsilon^2\Delta u + f(u) = \epsilon g$, dove $f$ e' la derivata del potenziale a doppio pozzo $(1 - u^2)^2$. Tale lavoro puo' essere esteso in molte direzioni:

• Analisi del problema che si ottiene utilizzando un potenziale a "doppio ostacolo", del tipo $1 - u^2$, se $u \in [-1,1]$, $+\infty$ altrimenti. Sicuramente si puo' ottenere una stima di errore ottimale ($O(\eps^2)$) per le interfacce, seguendo le idee gia utilizzate per il problema di doppio ostacolo evolutivo, vedi ad esempio [NPV94c] e [NPV93b] Il caso evolutivo per il potenziale regolare e' stato analizzato in [BePa95] .
• Versione vincolo di volume del problema di curvatura prescritta.
• Versione anisotropa .
• Trattamento di alcuni tipi di dato al bordo.

Metodi numerici efficienti per la risoluzione del problema di curvatura prescritta.

• Trattamento numerico del problema della curvatura prescritta in un mezzo anisotropo e non omogeneo.
• Analisi di tecniche tipo dynamic mesh per il problema della curvatura prescritta, possibilmente con la possibilita' di trovare anche punti stazionari che non siano minimi (tecniche tipo Newton).
• Ricerca di evoluzioni autosimilari per curvatura media: queste si possono caratterizzare come superfici stazionarie di curvatura prescritta in un mezzo non omogeneo, vedi i due punti precedenti. Particolare interesse avrebbe il caso di superfici in $R^3$, in cui e' stata congetturata numericamente l'esistenza di una tale superficie con caratteristiche tali da portare ad un risultato teorico molto interessante di nonunicita' [Angenent, Chopp, Ilmanen], si veda anche sull'argomento [ChSe93]

Analisi teorica dell'approssimazione del movimento per curvatura media.

Ecco alcune possibili estensioni di risultati noti (si veda ad esempio [NPV94c] , [NPV93b] , [BePa95] )

• Trattamento dei dati al bordo.
• Estensione delle stime di errore all'evoluzione con vincolo di volume.

Metodi numerici per l'approssimazione del movimento per curvatura media.

Alcuni articoli di riferimento in proposito possono essere: [NPV94A] , [Pao95] , [FiPa95A] . Possibili estensioni degli algoritmi esposti possono essere:

• Uso di elementi finiti di grado piu' elevato.
• Estensione al caso vettoriale dell'evoluzione di partizioni per curvatura media.

Segmentazione di immagini (possibili spunti di tipo teorico e numerico/informatico).

Uno dei metodi recentemente proposti per il problema della segmentazione di immagini consiste nel minimizzare un funzionale energia in cui compare una funzione incognita che tipicamente presentera' salti in corrispondenza dei contorni presenti nell'immagine che si vuole analizzare. Il funzionale prototipo in questo campo e' stato proposto da Mumford e Shah in [MuSh89] . La minimizzazione numerica di tale funzionale e' piuttosto problematica, in conseguenza del particolare spazio funzionale considerato. La teoria della Gamma-convergenza permette di riformulare il problema in spazi di Sobolev piu' usuali [AmTo90] , ma il problema che ne risulta richiede la risoluzione di un sistema di equazioni alle derivate parziali. Varie congetture di De Giorgi riguardano la possibilita' di approssimare il funzionale originario con un funzionale scalare, ma di tipo non locale. Questo funzionale si presta altresi' alla definizione di una evoluzione che potrebbe permettere di approssimare l'evoluzione per curvatura media di partizioni.